Question

如图，在直角坐标系中，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，tan∠OAB=2，二次函数y=x²+mx+2的图象经过点A、B，顶点为D。

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将上述二次函数图象沿y轴向上或向下平移后经过点C，请直接写出点C的坐标和平移后所得图象的函数解析式；
（3）设（2）中平移后所得二次函数图象与y轴的交点为B₁，顶点为D₁，点P在平移后的二次函数图象上，且满足△PBB₁的面积是△PDD₁面积的2倍，求点P的坐标。

Answer 1

解：由题意，点B的坐标为（0，2）， ∴OB=2， ∵tan∠OAB=2，即， ∴OA=1， ∴点A的坐标为（1，0）， 又∵二次函数的图像过点A， ∴0=12+m+2， 解得m=-3， ∴所求二次函数的解析式为； （2）由题意，可得点C的坐标为（3，1）， 所求二次函数解析式为； （3）由（2），经过平移后所得图象是原二次函数图象向下平移1个单位后所得的图象，那么对称轴直线不变，且， ∵点P在平移后所得二次函数图象上，设点P的坐标为， 在和中， ∵， ∴边上的高是边上的高的2倍， ①当点P在对称轴的右侧时，，得x=3， ∴点P的坐标为（3，1）； ②当点P在对称轴的左侧，同时在y轴的右侧时，，得x=1， ∴点P的坐标为（1，-1）； ③点P在y轴的左侧时，x<0，又-x=，得x=3>0（舍去）， ∴所求点P的坐标为（3，1）或（1，-1）。