Question

将两块大小一样含30°角的直角三角板，按如图①与图②方式叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，连接CD．
（1）填空：
图①中CD与AB______（填“平行”或“不平行”）；
图②中CD与AB______（填“垂直”或“不垂直”）．并任选一种情况证明．
（2）请写出图①中所有的等腰三角形．
（3）若把两块三角板按如图③的方式摆放．已知BC=A₁D=4，试求△AB₁C的面积？

Answer 1

解：（1）填空：
图①中CD与AB平行；图②中CD与AB垂直．
选①证法：
∵∠CAB=∠DBA，∴AE=EB，
又∵AC=BD，
∴DE=CE，则：∠DCE=∠EDC，而：∠DEC=∠BEA，
∴∠DCE=∠BAE
∴CD∥AB．
选②证法：∵AC=AD且CB=BD，
∴A，B都是CD的垂直平分线上的点
∴CD⊥AB
故答案为 平行，垂直．

（2）△EDC，△EBA，△CDB，△DAC．

（3）∵∠A=∠B₁=30°，且∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∵BC=A₁D=4，
∴△A₁BC是等边三角形，则：∠ACA₁=90°-∠A₁CB=30°，
∴∠A=30°=∠A₁CA，
∴AA₁=A₁C=4，
∴AB₁=AB+BB₁=8+4=12，
过点C作CE⊥AB，则CE=BC•sin60°=4×=2，
∴S_△AB1C=AB₁•CE=×12×2=12．

分析：（1）分别证明①CD∥AB和②CD⊥AB；
（2）从图中找等腰三角形即可；
（3）根据△A₁BC是等边三角形，即可求得AC，根据面积计算方法求△AB₁C的面积．
点评：本题考查了线段平行、垂直的证明，考查了三角形面积的计算，本题证明A₁是AB的中点是解题的关键．