Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（-1，0），过点C的直线y=x-3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H，若PB=5t，且0＜t＜1。

（1）填空：点C的坐标是____，b=____，c=___；
（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）（0，-3），b=-，c=-3；
（2）由（1），得y=x²-x-3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0），
∴OB=4，
又∵OC=3，
∴BC=5，
由题意，得△BHP∽△BOC，
∵OC∶OB∶BC=3∶4∶5，
∴HP∶HB∶BP=3∶4∶5，
∵PB=5t，
∴HB=4t，HP=3t，
∴OH=OB-HB=4-4t，
由y=x-3与x轴交于点Q，得Q（4t，0），∴OQ=4t，
①当H在Q、B之间时，QH=OH-OQ=（4-4t）-4t=4-8t，
②当H在O、Q之间时，QH=OQ-OH=4t-（4-4t）=8t-4，
综合①，②得QH=｜4-8t｜；
（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似；
①当H在Q、B之间时，QH=4-8t，若△QHP∽△COQ，则QH∶CO=HP∶OQ，得，
∴t=，
若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO=HQ∶OQ，得，
即t²+2t-1=0，
∴t₁=-1，t₂=--1（舍去）；
②当H在O、Q之间时，QH=8t-4，
若△QHP∽△COQ，则QH∶CO=HP∶OQ，得，
∴t=，
若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO=HQ∶OQ，得，即t²-2t+1=0，∴t₁=t₂=1（舍去），
综上所述，存在的值，t₁=-1，t₂=，t₃=。