Question

已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°．以点C为圆心，AC长为半径画弧，点D为圆弧上一点，且∠ACD=90°，过点D作直线BC的垂线DF，垂足为F．求证：AB=CF．

Answer 1

证明：∵在△ABC中，∠ABC=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°，
∵∠ACD=90°，B、C、F在同一条直线上，
∴∠ACB+∠DCF=90°，
∴∠BAC=∠DCF，
∵A、D两点都在以点C为圆心，AC长为半径的圆弧上，
∴AC=CD，
∵DF⊥BC于F，
∴∠DFC=90°，
∴∠DFC=∠ABC=90°，
在△ABC和△CFD中，，
∴△ABC≌△CFD（AAS），
∴AB=CF．
分析：根据直角三角形的两锐角互余以及平角等于180°列式求出∠BAC=∠DCF，再根据圆的半径相等可得AC=CD，然后利用“角边角”证明△ABC和△CFD全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，根据直角三角形的性质以及平角的定义证明得到∠BAC=∠DCF是解题的关键，也是本题的难点．