Question

如图，已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直角∠DFE的顶点F是AB中点，两边FD，FE分别交AC，BC于点D，E两点，给出以下个结论：
①CD=BE；②四边形CDFE不可能是正方形；③△DFE是等腰直角三角形；
④．当∠DFE在△ABC内绕顶点F旋转时（点D不与A，C重合），上述结论中始终正确的有

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

C
分析：首先连接CF，由等腰直角三角形的性质可得：∴∠A=∠B=45°，CF⊥AB，∠ACF=∠ACB=45°，CF=AF=BF=AB，则证得∠DCF=∠B，∠DFC=∠EFB，然后可证得：△DCF≌△EBF，由全等三角形的性质可得CD=BE，DF=EF，也可证得S_{四边形CDFE}=S_△ABC，问题得解．
解答：解：连接CF，
∵AC=BC，∠ACB=90°，点F是AB中点，
∴∠A=∠B=45°，CF⊥AB，∠ACF=∠ACB=45°，CF=AF=BF=AB，
∴∠DCF=∠B=45°，
∵∠DFE=90°，
∴∠DCF+∠CFE=∠CFE+∠EFB=90°，
∴∠DFC=∠EFB，
∴△DCF≌△EBF，
∴CD=BE，故①正确；
∴DF=EF，
∴△DFE是等腰直角三角形，故③正确；
∴S_△DCF=S_△BEF，
∴S_{四边形CDFE}=S_△CDF+S_△CEF=S_△EBF+S_△CEF=S_△CBF=S_△ABC，故④正确．
若EF⊥BC时，则可得：四边形CDFE是矩形，
∵DF=EF，
∴四边形CDFE是正方形，故②错误．
∴结论中始终正确的有①③④．
故选C．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定等知识．题目综合性很强，但难度不大，注意数形结合思想的应用．