Question

如图，E，D分别是AB，AC上的点，∠EBC与∠BCD的平分线交于M，∠BED与∠EDC的平分线交于N．试探究：A，M，N三点有什么样的位置关系，并证明你探究的结论．

Answer 1

答案：
解析：

A，M，N三点共线． 　　证明：作NF⊥AB，NG⊥ED，NH⊥AC，垂足分别为F，G，H． 　　∵NE，ND分别是∠BED，∠CDE的平分线， 　　∴NF＝NG，NG＝NH，∴NF＝NH． 　　∴点N在∠A的角平分线上． 　　又∵MB是∠ABC的平分线，MC是∠ACB的平分线，∴点M在∠A的平分线上． 　　因此，A，M，N三点共线． 　　剖析：探究A，M，N三点的位置关系，要么A，M，N三点共线；要么A，M，N三点不共线．由观察图形可直观得出A，M，N三点共线，根据题设条件和三角形三条角平分线交于一点，点M在∠A的平分线上，问题转化为证点N在∠A的平分线上即可．根据平分线的性质定理和判定定理，作NF⊥AB，NG⊥ED，NH⊥AC，不难证得结果．

提示：

方法提炼： 　　证三点共线问题，一是证明其邻角互补，即连接AM，MN，证∠AMB＋∠BMN＝；二是第三点在一、二两点的直线上即可，此题是运用第二种证三点共线的方法．