Question

如图，已知Rt△ABC和Rt△EBC，∠B＝90°．以边AC上的点O为圆心、OA为半径的⊙O与EC相切，D为切点，AD∥BC．

(1)用尺规确定并标出圆心O；(不写做法和证明，保留作图痕迹)

(2)求证：∠E＝∠ACB

(3)若AD＝1，tan∠DAC＝，求BC的长．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1) 　　(提示：O即为AD中垂线与AC的交点或过D点作EC的垂线与AC的交点等)．能见作图痕迹，作图基本准确即可，漏标O可不扣分2分 　　(2)证明：连结OD．∵AD∥BC，∠B＝90°，∴∠EAD＝90°． 　　∴∠E＋∠EDA＝90°，即∠E＝90°－∠EDA． 　　又圆O与EC相切于D点，∴OD⊥EC． 　　∴∠EDA＋∠ODA＝90°，即∠ODA＝90°－∠EDA． 　　∴∠E＝∠ODA　　3分 　　(说明：任得出一个角相等都评1分) 　　又OD＝OA，∴∠DAC＝∠ODA，∴∠DAC＝∠E．4分 　　∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠E＝∠ACB．5分 　　(3)Rt△DEA中，tan∠E＝，又tan∠E＝tan∠DAC＝， 　　∵AD＝1∴EA＝．6分 　　Rt△ABC中，tan∠ACB＝， 　　又∠DAC＝∠ACB，∴tan∠ACB＝tan∠DAC． 　　∴＝，∴可设． 　　∵AD∥BC，∴Rt△EAD∽Rt△EBC．7分 　　∴，即． 　　∴x＝1，∴BC＝2x＝2．8分