Question

如图，?ABCD中，E为BC中点，连接AE并延长交DC的延长线于F点，连接BF．
（1）求证：AB=CF；
（2）试猜想当AB与AC满足什么数量关系时，四边形ABFC是菱形？并说明理由．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵点F为DC的延长线上的一点，
∴AB∥DF，
∴∠BAE=∠CFE，∠ECF=∠EBA，
∵E为BC中点，
∴BE=CE，
∴△BAE≌△CFE，
∴AB=CF；

解：（2）∵AB=CF，AB∥DF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∴当AB=AC时，四边形ABFC是菱形．
分析：（1）根据平行四边形的性质可得到AB∥CD，从而可得到AB∥DF，根据平行线的性质可得到两组角相等，已知点E是BC的中点，从而可根据AAS来判定△BAE≌△CFE，根据全等三角形的对应边相等可证得AB=CF．
（2）由第（1）知AB=CF，已知AB∥DF，从而根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABFC是平行四边形，再根据有一给邻边相等的平行四边形是菱形，从而不难推出AB与AC的数量关系．
点评：此题主要考查学生对平行四边形的性质，菱形的判定与性质的综合运用能力．