Question

已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连结OP，弦CB//OP，直线PB交直线AC于点D，BD=2PA。
（1）证明：直线PB是⊙O的切线；
（2）探索线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；
（3）求sin∠OPA的值。

Answer 1

解：（1）连结OB， ∵BC//OP， ∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB 又∵OC=OB， ∴∠BCO=∠CBO， ∴∠POB=∠POA， 又∵PO=PO，OB=OA， ∴△POB≌△POA， ∴∠PBO=∠PAO=90°， ∴PB是⊙O的切线；
（2）2PO=3BC（写PO=BC亦可）， 证明：∵△POB≌△POA， ∴PB=PA， ∵BD=2PA， ∴BD=2PB， ∵BC//OP， ∴△DBC∽△DPO， ∴， ∴2PO=3BC；
（3）∵△DBC∽△DPO， ∴， 即DC=OD， ∴DC=2OC， 设OA=x，PA=y， 则OD=3x，DB=2y， 在Rt△OBD中， 由勾股定理，得（3x）2= x2+（2y）2， 即2x2= y2， ∵x>0，y>0， ∴y=x， OP= ∴sin∠OPA=。