Question

正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；
（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值．

Answer 1

（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=4，∠B=∠C=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠MAB+∠AMB=90°，
∴∠CMN=∠MAB，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN．
（2）解：∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴，即，
∴，
∴y=S_梯形ABCN=（+4）4
=﹣x²+2x+8
=﹣（x﹣2）²+10，
当x=2时，y取最大值，最大值为10．
（3）解：∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使△ABM∽△AMN，必须有=，
由（1）知，
∴BM=MC，
∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x=2．