Question

求证：等腰梯形的四个顶点在同一个圆上．

已知：四边形ABCD是等腰梯形，AB＝CD，AD∥BC．

求证：A、B、C、D在同一个圆上．

Answer 1

答案：
解析：

解：如下图作AB的垂直平分线l1，作BC的垂直平分线l2， 　　∵AB与BC相交， 　　∴l1与l2必相交，设交点O，∵O在l1上，∴OA＝OB． 　　又O在l2上，∴OB＝OC． 　　∵等腰梯形是轴对称图形，l2为BC的垂直平分线， 　　∴l2为等腰梯形ABCD的对称轴，∴OA＝OD， 　　∴OA＝OB＝OC＝OD， 　　∴A、B、C、D在以O为圆心的圆上． 　　思路点拨：要证明A、B、C、D在同一个圆上，根据圆的定义只要找到O点，使得A、B、C、D到O点的距离相等．我们由前面的知识可知，到A、B距离相等的点在AB的垂直平分线上，因此，只需作出AB与BC的垂直平分线即可． 　　评注：本题的关键是找出O点，然后根据以前学过的知识证明OA＝OB＝OC＝OD，除了分别作出AB与BC的中垂线之外，也可分别作出AB与CD的中垂线，它们也相交于O点，并且证明OA＝OB＝OC＝OD时，上述证明方法中用了轴对称图形的性质，也可以利用全等三角形的方法证明． 　　小结：证明几个点共圆的方法． 　　(1)要证明几个点在同一个圆上，可以根据定义，证明这几个点与一个定点距离相等． 　　注意：这个定点可能是已知的，也可能是未知的，可以通过作中垂线等方法找到它． 　　(2)证明五点共圆是先证三个点确定一个圆，然后再证第4个点和第5个点均在这个圆上．