Question

（a）如图（1）分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用表示 S₁、S₂、S₃则它们有______关系．
（b）如图（2）分别以直角三角形ABC三边向外作三个正方形，其面积表示 S₁、S₂、S₃．则它们有______关系．
（c）如图（3）分别以直角三角形ABC三边向外作三个正三角形，面积表示S₁、S₂、S₃，则它们有______关系．并选择其中一个命题证明．

Answer 1

解：（1）S₃=AC²，S₂=BC²，S₁=AB²，
∴S₂+S₃=S₁．
（2）S₂+S₃=S₁…
由三个四边形都是正方形则：
∵S₃=AC²，S₂=BC²，S₁=AB²，…
∵三角形ABC是直角三角形，
又∵AC²+BC²=AB²…
∴S₂+S₃=S₁．
（3）S₁=AB²，S₂=BC²，S₃=AC²，
∴S₂+S₃=S₁．
分析：（a）分别用AB、BC和AC表示出 S₁、S₂、S₃，然后根据AB²=AC²+BC²即可得出S₁、S₂、S₃的关系；
（b）分别用AB、BC和AC表示出 S₁、S₂、S₃，然后根据AB²=AC²+BC²即可得出S₁、S₂、S₃的关系；
（c）分别用AB、BC和AC表示出 S₁、S₂、S₃，然后根据AB²=AC²+BC²即可得出S₁、S₂、S₃的关系．
点评：此题主要涉及的知识点：三角形、正方形、圆的面积计算以及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的公式，难度一般．