Question

A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统，使每两个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长为最小，则这个公路系统应当如何修建？

Answer 1

解：作等边△ABE和等边△CDF，等边△BPM．

由于将曲线段用直线段代替，长度不会增加，因此可以假定公路系统如第一个图所示（必要时，P、Q两点可以重合）．
如第二个图所示，作等边△ABE和△CDF，再作等边△BPM．
易证△ABP≌△EBM，则AP=EM
从而AP+BP=EM+MP≥EP，当且仅当M在EP上时上式等号成立．
同理可证CQ+DQ≥QF
故AP+BP+PQ+CQ+DQ≥EP+PQ+QF≥EF，
当且仅当P、Q都在EF上时，上式等号成立．
易证当∠ABP=∠BAP=30°时，M在EP上，
同理，当∠DCQ=∠CDQ=30°时，CQ+DQ=QF．
故如第三个图所示的情况时，AP+BP+PQ+CQ+DQ最小．
分析：在正方形的内部首先确定两点，把这两个点连接P，Q，然后把这两个点分别与与A，B，C，D中的两个点连接，即可构成一个公路系统，然后利用两点之间线段最短，即可重新确定P，Q的位置即可．
点评：本题考查了两点之间线段最短，以及三角形全等的判定，首先假设P，Q的位置，然后根据两点之间线段最短再确定P、Q的位置是基本的思路．