Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（-1，0）．下列结论：①ab＜0，②b²＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞-1时，y＞0，其中正确结论的个数是

1. A.
   5个
2. B.
   4个
3. C.
   3个
4. D.
   2个

Answer 1

B
分析：由抛物线的对称轴在y轴右侧，可以判定a、b异号，由此确定①正确；
由抛物线与x轴有两个交点得到b²-4ac＞0，又抛物线过点（0，1），得出c=1，由此判定②正确；
由抛物线过点（-1，0），得出a-b+c=0，即a=b-1，由a＜0得出b＜1；由a＜0，及ab＜0，得出b＞0，由此判定④正确；
由a-b+c=0，及b＞0得出a+b+c=2b＞0；由b＜1，c=1，a＜0，得出a+b+c＜a+1+1＜2，由此判定③正确；
由图象可知，当自变量x的取值范围在一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根之间时，函数值y＞0，由此判定⑤错误．
解答：∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）过点（0，1）和（-1，0），
∴c=1，a-b+c=0．
①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴x=-＞0，
∴a与b异号，∴ab＜0，正确；
②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b²-4ac＞0，
∵c=1，∴b²-4a＞0，b²＞4a，正确；
④∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵ab＜0，∴b＞0．
∵a-b+c=0，c=1，∴a=b-1，
∵a＜0，∴b-1＜0，b＜1，
∴0＜b＜1，正确；
③∵a-b+c=0，∴a+c=b，
∴a+b+c=2b＞0．
∵b＜1，c=1，a＜0，
∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2，
∴0＜a+b+c＜2，正确；
⑤抛物线y=ax²+bx+c与x轴的一个交点为（-1，0），设另一个交点为（x，0），则x₀＞0，
由图可知，当x₀＞x＞-1时，y＞0，错误；
综上所述，正确的结论有①②③④．
故选B．
点评：本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，不等式的性质，难度适中．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b²-4ac的符号，此外还要注意二次函数与方程之间的转换．