Question

已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，
求证：BD=2CE．

Answer 1

证明：如图，分别延长CE，BA交于一点F．
∵BE⊥EC，
∴∠FEB=∠CEB=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE=∠CBE，
又∵BE=BE，
∴△BFE≌△BCE （ASA）．
∴FE=CE．
∴CF=2CE．
∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠EDC，
∴∠ABD+∠EDC=90°．
又∵∠DEC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，
∴∠FCA=∠DBC=∠ABD．
∴△ADB≌△AFC．
∴FC=DB，
∴BD=2EC．
分析：延长CE，BA交于一点F，由已知条件可证得△BFE全≌△BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD，所以BD=2CE．
点评：本题考查了全等三角形的判断和性质，常用的判断方法为：SAS，SSS，AAS，ASA．常用到的性质是：对应角相等，对应边相等．有时还需要证“两步”全等．在证明中还要注意图形中隐藏条件的挖掘如：本题中的公共边BE．