Question

AD为⊙O的直径，PD为⊙O的切线，PCB为⊙O的割线，PO分别交AB、AC于点M、N．求证：OM=ON．

Answer 1

证明：过点C作PM的平行线，交AD于Y，交AB于X；
过Y点作AB的平行线，交PB于Z．
∵∠ZYD=∠BAD=∠BCD，
∴Z、Y、C、D共圆，
∴∠ZDO=∠ZCY=∠ZPO．
∴Z、D、P、O共圆，
∠PZO=∠PDO=90°．
∴OZ⊥BC，
又∵YZ∥AB，
∴Z是BC的中点，
∴Y是CX的中点，O是MN的中点，
∴OM=ON．
分析：过点C作PM的平行线，交AD于Y，交AB于X；过Y点作AB的平行线，交PB于Z．利用圆周角定理和同位角相等，求证Z、Y、C、D共圆，同理，求证Z、D、P、O共圆，然后利用平行线分线段成比例即可证明Z是BC的中点，Y是CX的中点，O是MN的中点．
点评：此题主要考查学生对切割线定理和平行线分线段成比例的理解和掌握，证明此题的关键是过点C作PM的平行线，过Y点作AB的平行线，分别求证Z、Y、C、D共圆，Z、D、P、O共圆，此题难度较大，是一道难题．