Question

如图，直线y=-x=1交x轴于A点，交y轴于B点，正方形CDEF的边长为1，点C、点Dx轴上，且C（2，0）．直线AB以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移，交x轴于A′，交y轴于B′．同时正方形CDEF以每秒1个单位的速度沿x轴向右平移得正方形C′D′E′F′，设移动的时间为t秒．
（1）求点A、点E的坐标；
（2）当t为何值时，点A′与点C′重合？点A′与点D′重合？点E′在直线A′B′上？
（3）若△OA′B′与正方形C′D′E′F′重合部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

Answer 1

解：（1）在y=-x+1中，令y=0，得x=1则A的坐标是：（1，0）；
∵C（2，0）．
∴OC=2，
∴OD=OC+CD=2+1=3，
则E的坐标是：（3，1）；

（2）∵△OAB是等腰直角三角形，
∴AB以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移，则A向右移动的速度是每秒2个单位．
根据题意得：1+2t=2+t，解得：t=1
故t=1时，A′与C′重合；
当1+2t=3+t，解得：t=2，
则当t=2时，A′与D′重合；
当点E′在直线A′B′上时，△E′D′A′构成等腰直角三角形，则1+2t-1=3+t，解得：t=3，
即当t=3时，E′在直线A′B′上；

（3）1＜t≤2时，重合部分是等腰直角三角形，A′C′=1+2t-（2+t）=t-1，
则S=（t-1）²=t²-t+；
2＜t≤3时，S=1-（3-t）²=-t²+3t-
t＞3时，正方形形C′D′E′F′在△OA′B′内部，则S=1．
分析：（1）在y=-x+1中，令y=0，求得x，即可得到A的横坐标，则A的坐标可以得到；求得OD的长即可求得E的横坐标，E的纵坐标是1，则E的坐标可以求得；
（2）设移动的时间为t秒，则OA′=1+2t，OC′=2+t，OD′=3+t，点A′与点C′重合？点A′与点D′重合？点E′在直线A′B′上时，分别列方程即可求得对应的t的值；
（3）分1＜t≤2，2＜t≤3和t＞3三种情况进行讨论，利用三角形的面积公式即可求解．
点评：本题考查了一次函数正方形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用，正确理解OA′、OC′、OD′的长度是关键．