Question

如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．

(1)求证∶CT为⊙O的切线；

(2)若⊙O半径为2，CT＝，求AD的长．

Answer 1

答案：
解析：

分析∶(1)连接OT，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得CT⊥OT，CT为⊙O的切线； 　　(2)证明四边形OTCE为矩形，求得OE的长，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解． 　　解答∶(1)证明∶连接OT， 　　∵OA＝OT， 　　∴∠OAT＝∠OTA， 　　又∵AT平分∠BAD， 　　∴∠DAT＝∠OAT， 　　∴∠DAT＝∠OTA， 　　∴OT∥AC，(3分) 　　又∵CT⊥AC， 　　∴CT⊥OT， 　　∴CT为⊙O的切线；(5分) 　　(2)解∶过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点， 　　又∵CT⊥AC， 　　∴OE∥CT， 　　∴四边形OTCE为矩形，(7分) 　　∵CT＝， 　　∴OE＝， 　　又∵OA＝2， 　　∴在Rt△OAE中，， 　　∴AD＝2AE＝2．(10分) 　　点评∶本题主要考查了切线的判定以及性质，证明切线时可以利用切线的判定定理把问题转化为证明垂直的问题．

提示：

考点∶切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．