Question

如图，在矩形ABCD中，BC=24cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．
已知在相同时间内，若BQ=x cm（x≠0），则AP=2x cm，CM=3x cm，DN=x²cm．
（1）当x为何值时，以P、N两点重合？
（2）问Q、M两点能重合吗？若Q、M两点能重合，则求出相应的x的值；若Q、M两点不能重合，请说明理由．
（3）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．

Answer 1

解：（1）当点P与点N重合时，
由x²+2x=24，得x₁=4、x₂=-6（舍去）
所以x=4时点P与点N重合．

（2）当点Q与点M重合时，
由x+3x=24，得x=6
此时DN=x²=36≥24，不符合题意．
故点Q与点M不能重合．

（3）因为当N点到达A点时，x²=24，
解得：x=2，
BQ=2 cm，CM=6 cm，
∵BQ+CM=8＜24，
∴此时M点和Q点还未相遇，
所以点Q只能在点M的左侧，
①如图1，当点P在点N的左侧时，
由24-（x+3x）=24-（2x+x²），
解得x₁=0（舍去），x₂=2；
当x=2时四边形PQMN是平行四边形；
②如图2，当点P在点N的右侧时，
由24-（x+3x）=（2x+x²）-24，
解得x₁=-3+，x₂=-3-（舍去）；
当x=-3+时四边形NQMP是平行四边形；
综上：当x=2或x=-3+时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
分析：（1）P、N两点重合，即AP+DN=AD=BC，联立方程解答即可；
（2）当Q、M两点重合时，即BQ+CM=BC，联立方程解答，进一步利用DN验证即可；
（3）把P、N两点分两种情况讨论，点P在点N的左侧或点P在点N的右侧，进一步利用平行四边形的性质联立方程解答即可．
点评：此题主要考查借助图形的性质找出数量关系，联立方程解决问题，并渗透分类讨论思想．