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    如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，1）、B（3，1），动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动，过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q，设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S。
    （1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
    （2）求S与t的函数关系式；
    （3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由。
    解：（1）由图象可知：抛物线经过原点，
    设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），
    把A（1，1），B（3，1）代入上式得：
    ，
    解得，
    ∴所求抛物线解析式为；
    （2）分三种情况：
    ①当0＜t≤2，重叠部分的面积是S△OPQ，
    过点A作AF⊥x轴于点F，
    ∵A（1，1），
    ∴在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，
    ∴PQ=OQ=tcos 45°=t，
    ∴；
    ②当2＜t≤3，设PQ交AB于点G，作GH⊥x轴于点H，∠OPQ=∠QOP=45°，
    则四边形OAGP是等腰梯形，重叠部分的面积是S梯形OAGP，
    ∴AG=FH=t-2，
    ∴；
    ③当3＜t＜4，设PQ与AB交于点M，交BC于点N，重叠部分的面积是S五边形OAMNC，
    因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，
    所以重叠部分的面积是S五边形OAMNC=S梯形OABC-S△BMN，
    ∵B（3，1），OP=t，
    ∴PC=CN=t-3，
    ∴
    ∴
    ;


    图1

    图2

    图3

    （3）存在t1=1，t2=2。
    练习册系列答案
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    6、如图所示，已知在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，E为BC上的点，且EA=ED，∠AEB=75°，∠DEC=45°，试说明AB=BC．

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    如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．
    （1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
    （2）求S与t的函数关系式；
    （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
    （4）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图所示，已知在直角三角形纸片ABC中，BC=3，∠BAC=30°，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（　　）

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