Question

如图，点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧BD的中点，AC交BD于点E，AE=2，EC=1．
（1）求证：△DEC∽△ADC；
（2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予证明并求出它的面积；若不是，请说明理由．

Answer 1

证明：（1）∵C为劣弧BD的中点，
∴=，
∴∠DAC=∠BAC，
又∠DAC和∠BDC对的弧都为，
∴∠DAC=∠BDC．
∴∠BAC=∠BDC，又∠DCA=∠DCA，
∴△DEC∽△ADC．

（2）由（1）知，△DEC∽△ADC，
∴EC：DC=DC：AC．
∴DC²=3，DC==BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
在Rt△BCE中，CE=1，BC=，
∴BE=2，
∴∠CBE=30°，
∴∠BAC=∠DAC=30°．
∴劣弧BD的度数为2×2×30°=120°，劣弧AD的度数为60°．
即∠DCA=30°=∠CAB．
∴CD∥AB，且CD≠AB．
∴四边形ABCD是上底为DC，下底为AB，高为直角三角形斜边AB边上的高的梯形．
∵AC=AE+EC=3，BC=，根据勾股定理得AB=2，则∠CAB=30°，
∴直角三角形斜边AB边上的高为，
∴S_梯形ABCD==．
分析：（1）根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等易得∠DAC=∠BDC，再由C是劣弧BD的中点，得到=，根据等弧所对的圆周角也相等可得∠DAC=∠CAB，等量代换可得三个角都相等，同时又有∠DCA=∠DCA，易得出证明；
（2）根据题意易得DC²=3，DC==BC，进而可得劣弧BD、AD的度数；即∠DCA=∠CAB，可得CD∥AB，且CD≠AB，可判断得出四边形ABCD是梯形．
点评：本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力和相似三角形的判定和性质的应用．