Question

如图：△ABC为等边三角形，点D为△ABC内一点，且∠ADB=120°，把△ADB沿BD翻折，点A落在点E处，连接CE．
（1）求证：BD+CE=AD；
（2）连接CD，若AD=8，CD=7，求CE的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）在AD上截取AF=BD，连接CF，可以求得△ABD≌△ACF，从而得出CF=DE，CF∥DE，得出四边形DECF是平行四边形，最后得出BD+CE=AD；
（2）延长BD使BG=AD，过A点作AH⊥BD与H，通过△ABG≌△CAD求得AG=CD，然后解直角三角形即可求得．

解答：（1）证明：在AD上截取AF=BD，连接CF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠1+∠2=60°，
∵∠ADB=120°，
∴∠1+∠3=60°，
∴∠2=∠3，
在△ABD与△ACF中

AB=AC ∠2=∠3 AF=BD

∴△ABD≌△ACF（SAS）
∴CF=AD，∠ADB=∠CFA=120°，
∵∠ADB=∠EDB=120°，AD=ED，
∴∠ADE=120°，CF=ED，
∴∠ADE=∠CFA=120°，
∴FC∥DE，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴FD=CE，
∴BD+CE=AD；

（2）解：延长BD使BG=AD，过A点作AH⊥BD于H，
∵∠ADB=120°，∠BAC=60°
∴∠ABD+∠BAD=60°，∠DAC+∠BAD=60°，
∴∠ABG=∠CAD，
在△ABG与△CAD中

AB=AC ∠ABG=∠CAD BG=AD

∴△ABG≌△CAD（SAS），
∴AG=CD=7，
∵∠ADB=120°，
∴∠ADH=60°，
在Rt△ADH中，AH=sin60°•AD=

3

2

×8=4

3

，DH=

1

2

•AD=4，
在Rt△AGH中，GH=

AG2-AH2

=

72-(4 3 )2

=1，
∴DG=DH-GH=4-1=3，
由（1）可知BD+CE=AD，
∴CE=DG=3．

点评：本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及其性质、平行四边形的判定及其性质．