Question

已知抛物线y=-x²+2mx-m²-m+2。
（1）直线L：y=-x+2是否经过抛物线的顶点；
（2）设该抛物线与x轴交于M、N两点，当OM·ON=4，且OM≠ON时，求出这条抛物线的解析式。

Answer 1

解：（1）将y=-x²+2mx=m²-m+2
配方得：y=-（x-m）²-m+2
由此可知，抛物线的顶点坐标是：（m，-m+2），
把x=m代入y=x+2得y=-m+2，
显然直线y=-x+2经过抛物线y=-x²+2mx-m²-m+2的顶点；
（2）设M、N两点的横坐标分别为x₁，x₂，则x₁，x₂是方程-x²+2mx-m²-m+2=0的两个实数根，
∴x₁·x₂=m²+m-2
∵OM·ON=4
即|x₁·x₂|=4
∴m²+m-2=±4
当m²+m-2=4时
解得m₁=-3，m₂=2，
当m=2时，可得OM=ON不合题意，
所以m=-3，
当m²+m-2=-4时方程设有实数根，
因此所求的抛物线的解析式只能是 y=-x²-6x-4。