Question

在边长为1的正方形ABCD的边AB上取一点P，边BC上取一点Q，边CD上取一点M，边AD上取一点N，如果AP+AN+CQ+CM=2，求证：PM⊥QN．

Answer 1

证明：如图所示，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转90°，
则正方形ABCD变到正方形ADC₁D₁的位置，
其中A不变，B变到D，Q变到Q₁，C变到C₁，N变到N₁，直线QN变到Q₁N₁．
因此QN⊥Q₁N₁，
因为AN=AN₁，CQ=C₁Q₁，
所以PN₁=AP+AN₁=AP+AN=2-（CM+CQ）=CC₁-（CM+C₁Q₁）=MQ₁．
又PN₁∥MQ₁，
所以四边形PMQ₁N₁是平行四边形．
故PM∥Q₁N₁．
因此PM⊥QN．
分析：直接证明PM⊥QN有困难，可设想将QN旋转90°成一新的直线Q₁N₁，只需证明PM∥Q₁N₁即可．
点评：中心对称的性质：
（1）关于中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．
（2）关于中心对称的两个图形是全等图形．
中心对称的思想方法：
利用中心对称的性质可以解决线段的相等问题、中点及角的相等问题以及转化图形来解决某些较困难的题型．