Question

△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，抛物线y=x²-2ax+b²交x轴于两点M，N，交y轴于点P，其中M的坐标是（a+c，0）．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若S_△MNP=3S_△NOP，①求cosC的值；②判断△ABC的三边长能否取一组适当的值，使三角形MND（D为抛物线的顶点）是等腰直角三角形？如能，请求出这组值；如不能，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵抛物线y=x²-2ax+b²经过点M（a+c，0）
∴（a+c）²-2a（a+c）+b²=0
∴a²+2ac+c²-2a²-2ac+b²=0
∴b²+c²=a²．
由勾股定理的逆定理得：△ABC为直角三角形；

（2）解：①如图所示；
∵S_△MNP=3S_△NOP
∴MN=3ON即MO=4ON．
又M（a+c，0）
∴
∴a+c，是方程x²-2ax+b²=0的两根
∴3．
∴
由（1）知：在△ABC中，∠A=90°
由勾股定理得．
∴
②能．
由（1）知y=x²-2ax+b²=x²-2ax+a²-c²=（x-a）²-c²
∴顶点D（a，-c²）
过D作DE⊥x轴于点E则NE=EM，DN=DM
要使△MND为等腰直角三角形，只须ED=MN=EM．
∵M（a+c，0）D（a，-c²）
∴DE=c²EM=c
∴c²=c又c＞0，
∴c=1
∵c=ab=a
∴a=b=．
∴当a=，b=，c=1时，△MNP为等腰直角三角形．
分析：（1）已知抛物线y=x²-2ax+b²经过点M（a+c，0），根据勾股定理可得△ABC为直角三角形．
（2）由S_△MNP=3S_△NOP得出MO=4ON．又可推出点N的坐标，可求出a与c的等量关系式．令ED=MN=EM，可得a，b与c的关系．
点评：本题考查的是二次函数的综合运用以及等腰直角三角形的判定和三角函数的运用，难度较大．