Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．
（1）当AB=10，CD=6时，求OE的长；
（2）∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B点）上移动时，对于点P，下面三个结论：
①到CD的距离保持不变；②平分下半圆；③等分．其中正确的为______，请予以证明．

Answer 1

解：（1）∵直径AB⊥弦CD，
∴AB平分弦CD，即CE=CD=3．
在Rt△OCE中，由勾股定理，
得OE===4；

（2）②，
证明：连接OP（如图1），
∵OC=OP，∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，
∴CD∥OP，
∵CD⊥AB，∴OP⊥AB，
∴∠AOP=∠BOP=90°，∴=，
即点P平分下半圆．
①到CD的距离保持不变；③等分利用图形即可得出不正确，
分析：（1）由垂径定理求CE，在Rt△OCE中，由勾股定理求OE；
（2）正确的为②，连接OP，利用角平分线的定义得∠1=∠2，由半径OC=OP，得∠2=∠3，从而有∠1=∠3，则OP∥CD，CD⊥AB，则OP⊥AB，即点P平分下半圆．
点评：本题考查了垂径定理、勾股定理的应用．关键是根据垂径定理求CE，利用勾股定理求OE．