Question

在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N.

（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN.

①求证：△ABN≌△ADN；

②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =α，求点M到AD的距离及tanα的值；

（2）如图2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）.

试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形.

 

Answer 1

（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形

　　　　　　 ∴AB? = AD，∠1 =∠2

　　　　　　 又∵AN = AN

　　　　　　 ∴△ABN ≌ △ADN

　　 ②解：作MH⊥DA交DA的延长线于点H，由AD∥BC，得∠MAH =∠ABC = 60°，

　 　　　 在Rt△AMH中，MH = AM?sin60° = 4×sin60° = 2，

　　　　　 ∴点M到AD的距离为 2.

易求AH=2，则DH=6＋2=8.

在Rt△DMH中，tan∠MDH=，

由①知，∠MDH=∠ABN=α.

故tanα=

（2）解：∵∠ABC=90°，∴菱形ABCD是正方形

　　 此时，∠CAD=45°.

　 下面分三种情形：

　　 Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°.

　　　　 此时，点M恰好与点B重合，得x=6；

　　 Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°.

　　　　 此时，点M恰好与点C重合，得x=12；

　　 Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2，

由AD∥BC，得∠1=∠4，又∠2=∠3，

∴∠3=∠4，从而CM=CN，

易求AC=6，∴CM=CN=AC－AN=6－6，

故x = 12－CM=12－（6－6）=18－6

综上所述：当x = 6或12 或18－6时，△ADN是等腰三角形