Question

如图，抛物线：与x轴交于A、B（A在B左侧），顶点为C（1，﹣2）。
（1）求此抛物线的关系式；并直接写出点A、B的坐标；
（2）求过A、B、C三点的圆的半径；
（3）在抛物线上找点P，在y轴上找点E，使以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E的坐标。

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的顶点为C（1，﹣2）， ∴﹣=﹣=1， 解得b=﹣1，==﹣2， 解得c=﹣， ∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣， 令y=0，则x2﹣x﹣=0， 解得x1=﹣1，x2=3， ∴点A、B的坐标为：A（﹣1，0）、B（3，0）； （2）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（1，﹣2）， ∴AB=3﹣（﹣1）=4，AC==2， BC==2， ∴AB2=16，AC2+BC2=8+8=16， ∴AB2=AC2+BC2， ∴△ABC是直角三角形，AB是直径，故半径为2； （3）①当AB是平行四边形的边时，PE=AB=4，且点P、E的纵坐标相等， ∴点P的横坐标为4或﹣4， ∴y=×42﹣4﹣=， 或y=×42+4﹣=， ∴点P、E的坐标为P1（4，）、E1（0，）或P2（﹣4，）、E2（0，）， ②如图，当AB是平行四边形的对角线时，PE平分AB， ∴PE与x轴的交点坐标D（1，0）， 过点E作EF⊥AB，则OD=FD， ∴点F的坐标为（2，0）， ∴点P的横坐标为2，y=×22﹣2﹣=﹣， ∴点P的纵坐标为， ∴点P、E的坐标为P3（2，﹣）、E3（0，）， 综上所述，点P、E的坐标为：P1（4，）、E1（0，）或P2（﹣4，）、E2（0，）或P3（2，﹣）、E3（0，）。