Question

在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB=AF，则点F到直线BC的距离为

 

．

Answer 1

分析：如图，延长AC，做FD⊥BC交点为D，FE⊥AC，交点为E，可得四边形CDFE是正方形，则，CD=DF=FE=EC；等腰Rt△ABC中，
∠C=90°，AC=1，所以，可求出AC=1，AB=

2

，又AB=AF；所以，在直角△AEF中，可运用勾股定理求得DF的长即为点F到BC的距离．

解答：解：（1）如图，延长AC，作FD⊥BC交点为D，FE垂直AC延长线于点E，
∵CF∥AB，∴∠FCD=∠CBA=45°，
∴四边形CDFE是正方形，
即，CD=DF=FE=EC，
∵在等腰直角△ABC中，AC=BC=1，AB=AF，
∴AB=

12+12

=

2

，
∴AF=

2

；
∴在直角△AEF中，（1+EC）²+EF²=AF²
∴(1+DF)2+DF2=(

2

)2，
解得，DF=

3 -1

2

；

（2）如图，延长BC，做FD⊥BC，交点为D，延长CA，做FE⊥CA于点E，
同理可证，四边形CDFE是正方形，
即，CD=DF=FE=EC，
同理可得，在直角△AEF中，（EC-1）²+EF²=AF²，
∴(FD-1)2+FD2=(

2

)2，
解得，FD=

3 +1

2

；
故答案为：

3 ±1

2

．

点评：本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答；考查了学生的空间想象能力．