Question

如图，已知直线l₁：y=x+与直线l₂：y=﹣2x+16相交于点C，l₁、l₂分别交x轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l₁、l₂上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．
（1）求△ABC的面积；
（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；
（3）若矩形DEFG沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤12）秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．

Answer 1

解：（1）由x+=0，得x=﹣4． ∴A点坐标为（﹣4，0）， 由﹣2x+16=0，得x=8． ∴B点坐标为（8，0）， ∴AB=8﹣（﹣4）=12， 由，解得， ∴C点的坐标为（5，6）， ∴S△ABC=AB·CM=×12×6=36； （2）∵点D在l1上，且xD=xB=8， ∴yD=×8+=8， ∴D点坐标为（8，8）， 又∵点E在l2上，且yE=yD=8， ∴﹣2xE+16=8， ∴xE=4， ∴E点坐标为（4，8）， ∴DE=8﹣4=4，EF=8； （3）①当0≤t<3时，如图1，矩形DEFG与△ABC重叠部分为五边形CHFGR（t=0时，为四边形CHFG）． 过C作CM⊥AB于M，则Rt△RGB∽Rt△CMB， ∴，即， ∴RG=2t， ∵Rt△AFH∽Rt△AMC， ∴S=S△ABC﹣S△BRG﹣S△AFH=36﹣×t×2t﹣（8﹣t）×（8﹣t）， 即S=﹣t2+t+； ②当3≤t<8时，如图2所示，矩形DEFG与△ABC重叠部分为梯形HFGR，由①知，HF=（8﹣t）， ∵Rt△AGR∽Rt△AMC， ∴ =，即=， ∴RG=（12﹣t）， ∴S=（HF+RG）×FG=[（8﹣t）+（12﹣t）]×4，即S=﹣t+； ③当8≤t≤12，如图3所示，矩形DEFG与△ABC重叠部分为△AGR， 由②知，AG=12﹣t，RG=（12﹣t）， ∴S=AG·RG=（12﹣t）×（12﹣t），即S=（12﹣t）2， ∴S=t2﹣8t+48．

图1 图2 图3