Question

已知抛物线C₁：y=-x²+2mx+1（m为常数，且m＞0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C₂与抛物线C₁关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB。
（1）当m=1时，判定△ABC的形状，并说明理由；
（2）抛物线C₁上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）当m=1时，△ABC为等腰直角三角形， 理由如下： 如图：∵点A与点B关于y轴对称，点C又在y轴上， ∴AC=BC， 过点A作抛物线C1的对称轴，交x轴于D，过点C作CE⊥AD于E， 当m=1时，顶点A的坐标为A（1，2）， ∴CE=1， 又∵点C的坐标为（0，1）， ∴AE=2-1=1， ∴AE=CE，从而∠ECA=45°， ∴∠ACy=45°， 由对称性知∠BCy=∠ACy=45°， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC为等腰直角三角形；
（2）假设抛物线C1上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，则PC=AB=BC， 由（1）知，AC=BC， ∴AB=BC=AC，从而△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=60°， 四边形ABCP为菱形， ∴CP∥AB， ∴∠ACE=60°， ∵点A，C的坐标分别为A（m，m2+1），C（0，1）， ∴AE=m2+1-1=m2，CE=m， 在Rt△ACE中，tan60°===， 故抛物线C1上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，此时m=。