Question

2．如图，在自东向西的公路l上有一检查站A，在观测点B的南偏西53°方向，检查站一工作人员家住在与观测点B的距离为7$\frac{1}{32}$km，位于点B南偏西76°方向的点C处．
（1）求工作人员家到检查站的距离AC．（参考数据：sin76°≈$\frac{24}{25}$，cos76°≈$\frac{6}{25}$，tan 76°≈4，sin53°≈$\frac{4}{5}$，cos53°≈$\frac{3}{5}$，tan53°≈$\frac{4}{3}$）
（2）工作人员每天8：00从家C处匀速骑自行车上班，并准时到达检查站A处，但某天由于车子出了故障，晚出发了20分钟，于是他比平时提高了4.5km/h的速度，结果提前10分钟到达A处，那么他平时几点钟到达检查站A？

Answer 1

分析 （1）过点B作BH⊥l交l于点H，解Rt△BCH，得出CH=BC•sin∠CBH=$\frac{27}{4}$，BH=BC•cos∠CBH=$\frac{27}{16}$．再解Rt△BAH中，求出AH=BH•tan∠ABH=$\frac{9}{4}$，那么根据AC=CH-AH计算即可；
（2）设他平时的速度为xkm/h，等量关系为：平时上班骑自行车所用的时间=提高了4.5km/h的速度后上班所用的时间+$\frac{20+10}{60}$小时，依此列出方程，进而求解即可．

解答 解：（1）过点B作BH⊥l交l于点H，
∵在Rt△BCH中，∠BHC=90°，∠CBH=76°，BC=7$\frac{1}{32}$km，
∴CH=BC•sin∠CBH≈$\frac{225}{32}$×$\frac{24}{25}$=$\frac{27}{4}$，BH=BC•cos∠CBH≈$\frac{225}{32}$×$\frac{6}{25}$=$\frac{27}{16}$．
∵在Rt△BAH中，∠BHA=90°，∠ABH=53°，BH=$\frac{27}{16}$，
∴AH=BH•tan∠ABH≈$\frac{27}{16}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{9}{4}$，
∴AC=CH-AH=$\frac{27}{4}$-$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{2}$．

（2）设他平时的速度为xkm/h，由题意得
$\frac{\frac{9}{2}}{x}$=$\frac{\frac{9}{2}}{x+4.5}$+$\frac{20+10}{60}$，
整理得2x²+9x-81=0，
解得x₁=$\frac{9}{2}$，x₂=-9（不合题意舍去），
经检验，x=$\frac{9}{2}$是原方程的根，也符合题意，
8+$\frac{\frac{9}{2}}{\frac{9}{2}}$=8+1=9，
答：他平时9点钟到达检查站A．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．