Question

关于x的方程x²-（k+4）x+k²+4=0，其中k为整数．
（1）判断是否为该方程的一个根？如果不是，请说明理由；如果是，求出整数k的值并求出该方程的另一个根；
（2）如果该方程两个不相等的根均为整数，求整数k的值并求出相应的整数根．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先假设+4是方程的根，则将其代入方程，整理可得关于k的一元二次方程，通过判别式可确定k无实数根，又由k为整数，推得矛盾，所以+4不是该方程的根；
（2）首先由求根公式求得x的值，又由方程两个不相等的根均为整数，可得△是平方数，设△=m²，分析求解可知：m²=0，1，4，再依次分析即可求得答案．
解答：解：（1）如果+4是该方程的一个根，
那么（+4）²-（k+4）（+4）+k²+4=0，
整理得：k²-（+4）k+9+4=0，
∴△=（+4）²-4×（9+4）=-15-8＜0，
∴+4不是该方程的根．

（2）由求根公式得：，
∵方程两个不相等的根均为整数，
∴8k-3k²应该是完全平方数，
设8k-3k²=m²（m是整数），
∴3k²-8k+m²=0，
∴△=64-12m²≥0，即，
∴m²=0，1，4，
如果m²=0，那么8k-3k²=0，得到k=0，原方程有两个相等的根；
如果m²=1，那么8k-3k²=1，经计算此时k不是整数；
如果m²=4，那么8k-3k²=4，∵k是整数，∴得到k=2，此时愿方程化为x²-6x+8=0，两根分别为2，4；
∴当k=2时，原方程有两个不相等的整数根，分别为2，4．
点评：此题考查了根与方程的关系，一元二次方程的判别式与求根公式的应用等知识．注意分类讨论思想与反证法的应用是解此题的关键．