Question

如图：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：
①AE=CF；②∠APE=∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF=AP；⑤S_{四边形AEPF}=S_△ABC．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的序号有________．

Answer 1

①②③⑤
分析：根据题意，容易证明△AEP≌△CFP，然后能推理得到①②③⑤都是正确的，④不正确．
解答：∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，
∴∠EAP=∠BAC=45°，AP=BC=CP．
①在△AEP与△CFP中，
∵∠EAP=∠C=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF=90°-∠APF，
∴△AEP≌△CFP，∴AE=CF．正确；
②由①知，△AEP≌△CFP，
∴∠APE=∠CPF．正确；
③由①知，△AEP≌△CFP，
∴PE=PF．又∵∠EPF=90°，
∴△EPF是等腰直角三角形．正确；
④只有当F在AC中点时EF=AP，故不能得出EF=AP，错误；
⑤∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE．
∴S_{四边形AEPF}=S_△AEP+S_△APF=S_△CPF+S_△BPE=S_△ABC．正确．
故正确的序号有①②③⑤．
点评：本题利用了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质．