Question

如图1，在第一象限内，直线y=mx与过点B（0，1）且平行于x轴的直线l相交于点A，半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E，且与直线l分别交于不同的M、N两。
（1）当点A的坐标为（，p）时，①填空：p=_____，m=______，∠AOE=_______；
②如图2，连接QT、QE，QE交MN于点F，当r=2时，试说明：以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；
（2）在图1中，连接EQ并延长交⊙Q于点D，试探索：对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax²+bx+c，a的值会变化吗？若不变，求出a的值；若变化，请说明理由。

图1                                                                            图2

Answer 1

解：（1）①P=1，m=，∠AOE=60°； ②连结TM、ME、EN，NQ、MQ（如图1） ∵OE切于点E，l∥x轴 ∴∠OEQ=∠QFM=90°，且NF=MF 又∵QF=2-1=1=EF， ∴四边形MENQ是平行四边形， ∴QN∥ME 在Rt△QFN中，QF=1，QN=2， ∴∠FQN=60° 依题意，在四边形OEQT中，∠TOE=60°，∠OTQ=∠OEQ=90°， ∴∠TQE=120° ∴∠TQE+∠NQE =180°， ∴T、Q、N在同一直线上 ∴ME∥TN，ME≠TN，且∠TMN=90°， 又∠TNM=30°， ∴MT=2， 又QE=QN=2， ∴△EQN为等边三角形， ∴EN=2， ∴EN=MT， ∴四边形MENT是等腰梯形； 注：也可证明∠MTN=∠ENT=60°	图1
（2）a的值不变，理由如下： 如图，DE与MN交于点F，连结MD、ME， ∵DE是⊙O的直径， ∴∠DME=90°， 又∵∠MFD=90°， ∴∠MDE=∠EMN， ∴tan∠MDE=tan∠EMN ， ∴， 即（1） （注：本式也可由△MDF～△EMF得到） ∵在平移过程中，图形的形状及特征保持不变，抛物线的图象可通过的图象平移得到， ∴可以将问题转化为：点D在y轴上，点M、N在x轴上进行探索（如图2）， 由图形的对称性可得点D为抛物线顶点， 依题意，得，设D（0，k）（k=2r-1>0），M（x1，0），N（x2，0）（x2＜x2）， 则经过M、D、N三点的抛物线为， 当y=0时，x1、x2为的两根，解得， ∴， 代入（1）式得， ∴， 又k>0， ∴a=-1， 故a的值不变。	图2