Question

如图，△ABC的三边BC＝17，CA＝18，AB＝19，过△ABC内一点P向三边作垂线，垂足分别为D、E、F，且BD＋CE＋AF＝27，求BD＋BF的长度．

Answer 1

答案：
解析：

解：连结PA、PB、PC，则设BD＝x，CE＝y，AF＝z，则 　　DC＝17－x，EA＝18－y， 　　FB＝19－z． 　　在Rt△PBD中，BD2＋DP2＝PB2． 　　在Rt△PBF中，PF2＋BF2＝PB2． 　　∴BD2＋DP2＝PF2＋BF2． 　　即x2＋PD2＝(19－z)2＋PF2．①同理可得 　　y2＋PE2＝(17－x)2＋PD2．② 　　z2＋PF2＝(18－y)2＋PE2．③ 　　①＋②＋③，得 　　x2＋y2＋z2＝(17－x)2＋(18－y)2＋(19－z)2． 　　化简，得 　　17x＋18y＋19z＝487． 　　又∵x＋y＋z＝27， 　　∴x＝z－1． 　　∴BD＋BF＝x＋(19－z)＝18．

提示：

点悟：由PD、PE、PF分别垂直于三角形的三条边可想到构造直角三角形，利用勾股定理来得到边与边之间的关系．