Question

已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB₁为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB₁C₁，再以等边三角形AB₁C₁的B₁C₁边上的高AB₂为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB₂C₂，再以等边三角形AB₂C₂的边B₂C₂边上的高AB₃为边作等边三角形，得到第三个等边AB₃C₃；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形AB_nC_n的面积为______．

Answer 1

∵等边三角形ABC的边长为2，AB₁⊥BC，
∴BB₁=1，AB=2，
根据勾股定理得：AB₁=

3

，
∴第一个等边三角形AB₁C₁的面积为

3

4

×（

3

）²=

3

（

3

4

）¹；
∵等边三角形AB₁C₁的边长为

3

，AB₂⊥B₁C₁，
∴B₁B2=

3

2

，AB₁=

3

，
根据勾股定理得：AB₂=

3

2

，
∴第二个等边三角形AB₂C₂的面积为

3

4

×（

3

2

）²=

3

（

3

4

）²；
依此类推，第n个等边三角形AB_nC_n的面积为

3

（

3

4

）ⁿ．
故答案为：

3

（

3

4

）ⁿ