Question

在?ABCD中，G为BC延长线上一点，射线AG与直线BD相交于E、与直线CD相交于F．
（1）求证：；
（2）求证：AE²=EF•EG；
（3）如果把“G为BC延长线上一点”改为“G为线段BC上一点（不与点B、C重合）”，其它条件不变，（2）中的结论是否成立吗？若成立，请你加以证明；若不成立，请你说明理由．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABE∽△FDE，
∴；

（2）∵AD∥BC，
∴△ADE∽△GBE，
∴，
∵，
∴，
∴AE²=EF•EG；

（3）结论AE²=EF•EG成立．
证明：在?ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，
∴，，
∴，
∴AE²=EF•EG．
分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，即可得△ABE∽△FDE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得；
（2）由AD∥BC，可得△ADE∽△GBE，然后由相似三角形的对应边成比例，可得，又由，即可证得AE²=EF•EG；
（3）由在?ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，可得△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，然后由相似三角形的对应边成比例可得：，，继而可证得AE²=EF•EG．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．