Question

已知M，N为正整数，并且A=（1-）（1+）（1-）（1+）…（1-）（1+），B=（1-）（1+）（1-）（1+）…（1-）（1+）．
证明：（1）A=，B=．
（2）A-B=，求m和n的值．

Answer 1

解：（1）原式=××××…××=-=；
同理得B=；
（2）∵A-B=，
∴-=，
∴=，
∵m，n均为正整数，
∴n＞m，
∵n-m与mn互质，13又是质数，
∴m，n中至少有一个是13的倍数，设n=13k（k∈N⁺）
∴=，
13k-m=km，
m===13-，
∵k与k+1互质，m∈N⁺，
∴有k+1整除13，得到：k=12，
∴n=13×12=156，m=12，
当m=13k时，n=＜0（k∈N⁺），矛盾．
∴n=156，m=12．
分析：（1）每个括号的结果都是一个分数，这几个分数相乘后，只剩下第一个和最后一个分数没有化简，相乘即可，依此方法可得B的值；
（2）根据（1）得到的规律，得到关于m，n的式子，易得m，n中有一个是13的倍数，根据互质的原则判断出相应的整数解即可．
点评：考查数字的变化规律及应用规律进行计算；判断出各个数相乘的结果最后只剩第一个分数与最后一个分数相乘，是解决本题的突破点；判断出m，n中有一个数是13的倍数是解决本题的难点．