Question

在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．
（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；
（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=BC， 又∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵E是线段AC的中点， ∴∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE， ∵AE=CF， ∴CE=CF， ∴∠F=∠CEF， ∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°， ∴∠F=30°， ∴∠CBE=∠F， ∴BE=EF； （2）图2：BE=EF．图3：BE=EF． 图2证明如下： 过点E作EG∥BC，交AB于点G， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=BC， 又∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠ACB=60°， 又∵EG∥BC， ∴∠AGE=∠ABC=60°， 又∵∠BAC=60°， ∴△AGE是等边三角形， ∴AG=AE， ∴BG=CE， 又∵CF=AE， ∴GE=CF， 又∵∠BGE=∠ECF=120°， ∴△BGE≌△ECF（SAS）， ∴BE=EF； 图3证明如下： 过点E作EG∥BC交AB延长线于点G， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=BC， 又∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠ACB=60°， 又∵EG∥BC， ∴∠AGE=∠ABC=60°， 又∵∠BAC=60°， ∴△AGE是等边三角形， ∴AG=AE， ∴BG=CE， 又∵CF=AE， ∴GE=CF， 又∵∠BGE=∠ECF=60°， ∴△BGE≌△ECF（SAS）， ∴BE=EF．

图2 图3