在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²+3x+5+m与x轴交于A、B两点（点A
在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），D为OC的中点．
（1）求m的值；
（2）抛物线的对称轴与 x轴交于点E，在直线AD上是否存在点F，使得以点A、B、F为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△GBC中BC边上的高为 $数学公式$ ？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线y=mx²+3m+5+m与y轴交于点C（0，4），
∴5+m=4．
∴m=-1．

（2）抛物线的解析式为 y=-x²+3x+4．
可求抛物线与x轴的交点A（-1，0），B（4，0）．
可求点E的坐标 $\text{[math]}$ ．
由图知，点F在x轴下方的直线AD上时，△ABF是钝角三角形，不可能与△ADE相似，所以点F一定在x轴上方．
此时△ABF与△ADE有一个公共角，两个三角形相似存在两种情况：
①当 $\text{[math]}$ 时，由于E为AB的中点，此时D为AF的中点，
可求 F点坐标为（1，4）．
②当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，
解得：AF= $\text{[math]}$ ．
如图（2）过F点作FH⊥x轴，垂足为H．

∴ $\text{[math]}$ ．
∵D是OC的中点，
∴OD=2，
∴由勾股定理得：
AD= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴OH= $\text{[math]}$ ，
由勾股定理得：
FH= $\text{[math]}$ =5
∴F的坐标为（ $\text{[math]}$ ，5）

（3）在抛物线的对称轴上存在符合题意的点G．
由题意，可知△OBC为等腰直角三角形，直线BC为y=-x+4．
如图（3）∵MQ∥BC，QP= $\text{[math]}$ ，由勾股定理，得
∴CQ=5
∴可求与直线BC平行且距离为 $\text{[math]}$ 的直线为y=-x+9或y=-x-1．
∴点G在直线y=-x+9或y=-x-1上．
∵抛物线的对称轴是直线 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
∴点G的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）由抛物线y=mx²+3m+5+m与y轴交于点C（0，4），把C点的坐标代入解析式建立方程，求出方程的解，就可以求出m的值．
（2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，根据抛物线的对称性求出E点的坐标，然后根据对应角不同的情况就可以求出F的不同坐标．
（3）先由待定系数法求出直线BC的解析式，然后由题目的条件求出与直线BC平行且距离为 $\text{[math]}$ 的直线的解析式，再由抛物线的对称轴与这些与BC平行的直线的解析式构建方程组求出其解，就可以求出G的坐标．
点评：本题考查了两条直线相交或平行的问题，待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的运用．

练习册系列答案

课课练与单元测试系列答案

世纪金榜小博士单元期末一卷通系列答案

单元测试AB卷台海出版社系列答案

黄冈新思维培优考王单元加期末卷系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

13、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，-2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的有

个．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=1，并且经过（-2，-5）和（5，-12）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设此抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C 点，D是线段BC上一点（不与点B、C重合），若以B、O、D为顶点的三角形与△BAC相似，求点D的坐标；
（3）点P在y轴上，点M在此抛物线上，若要使以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S_△ABC=15，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为7

？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，-2），B（0，-2），在坐标平面中确定点P，使△AOP与△AOB相似，则符合条件的点P共有

个．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，1）、B（4，1）、C（1，3）．与△ABC与△ABD全等，则点D坐标为

（1，-1），（5，3）或（5，-1）

．

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学