Question

方程3x²-8xy+7y²-4x+2y=109的整数解是______．

Answer 1

3x²+（-8y-4）x+（7y²+2y-109）=0，
其判别式△=（y+4）²-12（7y²+2y-109）=4（-5y²+10y+331）应为完全平方数，
设-5y²+10y+331=u²（u为正整数），则x=

4y+2±u

3

（1），
又由-5y²+10y+331-u²=0（2），
其判别式△′=100+20（331-u²）=4×5（336-u²）应为完全平方数．从而336-u²必有因数5，
设336-u²=5v²（v为正整数）（3），
则y=1±v（4），
v²=

1

5

(336-u2)＜

1

5

(336-12)=67，
∴1≤v≤8，把v=1，2，3，4，5，6，7，8代入（3）得²=331，316，291，256，211，156，140，16，
易得方程（3）的正整数解为

u1=4 v1=8

u2=16 v2=4

，
代入（1）（4）可得原方程组的四组整数（14，9）；（-10，-7）；（2，5）；（2，-3）．
故填：（14，9）；（-10，-7）；（2，5）；（2，-3）．