Question

如图，在△ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点．
①求证：四边形BDEF是菱形．
②若AB=10cm，求菱形BDEF的周长．

Answer 1

①证明：∵E、F分别是AC、AB的中点，
∴EF=BC，EF∥CB，
又∵D、E分别是BC、AC的中点，
DE=AB，DE∥AB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴EF=DE，
∴四边形BDEF是菱形；

②解：∵F是AB的中点，
∴BF=AB，
又∵AB=10cm，
∴BF=5cm，
又∵四边形BDEF是菱形，
∴BD=DE=EF=BF，
∴四边形BDEF的周长为4×5=20（cm）．
分析：①首先根据三角形的中位线定理得到EF=BC，EF∥CB，DE=AB，DE∥AB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形BDEF是平行四边形，再由条件AB=BC可以证出EF=DE，根据邻边相等的平行四边形是菱形可以证出结论；
（2）首先根据中点定义得到BF=AB=5cm，再根据菱形的性质：菱形的四条边相等可得到菱形BDEF的周长．
点评：此题主要考查了菱形的判定与性质，以及三角形的中位线定理，解决问题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理和菱形的判定定理与性质．