Question

如图，CD是⊙O的弦，点P在弦CD上，点A是弧CD的中点，过点P作PA⊥OP交⊙O于点A，已知，CP=2cm，PD=8cm，则PA=________cm．

Answer 1

4
分析：由于点A是弧CD的中点，所以AO与CD垂直，又因为CP=2cm，PD=8cm，所以CD=10cm，CM=5，根据勾股定理，设OC=r，OM=x，则r²-x²=25，在△OPM中，OP²=x²+9，由于PA⊥OP，所以OP²+AP²=r²，联立以上三个式子，即可求出AP=4．
解答：解：如图，连接OA，OC．
∵点A是弧CD的中点，
AO⊥CD，
又∵CP=2cm，PD=8cm，
∴CD=10cm，CM=5cm，
根据勾股定理，设OC=r，OM=x，
则r²-x²=25，①
在△OPM中，OP²=x²+9，②
∵PA⊥OP，
∴OP²+AP²=r²，③
联立①②③，
即可求出AP=4cm．
点评：解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r²=d²+（）²成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．