Question

如图，在正方形ABCD中，如果点P是直线CD上的一个动点（不与点C，D重合），连接PA，分别过B，D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足为E，F．

（1）请在上面图中画出不同情况下的草图，并猜想BE，DF，EF这三条线段之间有怎样的数量关系；
（2）请在上面的3个图中选择一个证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）分为三种情况画三个图形，当点P靠近D点时，如图1，当P点是CD的中点时，如图2，当P点靠近C点时，如图3，
通过观察可以得出△AEB≌△DFA，根据全等三角形的性质就可以得出BE-DF=EF．
（2）由正方形的性质可以得出AB=AD，∠BAD=90°，再由BE⊥PA，DF⊥PA就可以得出∠AEB=∠DFA=90°进而可以证明△AEB≌△DFA，可以得出BE=AF，AE=DF，从而可以得出结论．

解答：解：（1）根据题意作图为：
BE，DF，EF这三条线段之间有怎样的数量关系是：
BE-DF=EF．

（2）如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°．
∴∠BAE+∠DAF=90°
∵⊥PA，DF⊥PA，
∴∠AEB=∠DFA=90°．
∴∠ADF+∠DAF=90．
∴∠BAE=∠ADF．
∵在△AEB和△DFA中，

∠AEB=∠DFA ∠BAE=∠ADF AB=AD

，
∴△AEB≌△DFA（AAS），
∴BE=AF，AE=DF．
∵AF-AE=EF，
∴BE-DF=EF．

点评：本题考查了作草图的运用，正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答本题时证明三角形全等是关键．