Question

如图，已知直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为4。
（1）求k的值；
（2）若双曲线y=（k＞0）上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y=（k＞0）于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标。

Answer 1

解：（1）∵点A横坐标为4， ∴当x= 4时，y=2 ∴点A的坐标为（4，2） ∵点A是直线与双曲线（k>0）的交点， ∴ k=4×2=8；
（2）∵点C在双曲线上，当y=8时，x=1 ∴点C的坐标为（1，8） 过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON， S矩形ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9， S△OAM=4，S△AOC=S矩形ONDM-S△ONC-S△CDA-S△OAM=32-4-9-4=15；
（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， ∴OP=OQ，OA=OB ∴四边形APBQ是平行四边形 ∴S△POA=S平行四边形APBQ=×24=6 设点P的横坐标为m（m>0且）， 得P（m，） 过点P、A分别做轴的垂线，垂足为E、F， ∵点P、A在双曲线上， ∴S△POE=S△AOF=4 若0＜m＜4， ∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF， ∴S梯形PEFA=S△POA=6 ∴ 解得m=2，m=- 8（舍去） ∴P（2，4） 若m＞4， ∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE， ∴S梯形PEFA=S△POA=6 ∴， 解得m= 8，m =-2 （舍去） ∴P（8，1） ∴点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）。