Question

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F，
(1)判断△DCE的形状；
(2)设⊙O的半径为1，且OF=，求证△DCE≌△OCB。

Answer 1

解：(1)∵∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°
又∵OA=OC
∴△AOC是正三角形．
又∵CD是切线，
∴∠OCD=90°，
∴∠DCE=180°-60°-90°=30°
而ED⊥AB于F，
∴∠CED=90°-∠BAC=30°
故△CDE为等腰三角形
(2)证明：在△ABC中，
∵AB=2，AC=AO=1，
∴BC==
OF=，
∴AF=AO+OF=
又∵∠AEF=30°
∴AE=2AF=+1
∴CE=AE-AC==BC
而∠OCB=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC，
故△CDE≌△COB。