Question

某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．
（1）扶梯露在外面的部分有多少级？
（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两个孩子各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）．求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？

Answer 1

解：（1）设女孩上梯速度为x级/分，自动扶梯的速度为y级/分，扶梯露在外面的部分有S级，则男孩上梯的速度为2x级/分．
由题意，有，
解得S=54．
答：扶梯露在外面的部分有54级．

（2）设男孩第一次追上女孩时走过自动扶梯m遍，走过楼梯n遍，则女孩走过自动扶梯（m-1）遍、走过楼梯（n-1）遍．
由题意，有．
由（1）中可求得y=2x，代入上面方程化简得6n+m=16．
∵无论男孩第一次追上女孩是在自动扶梯还是在下楼时，m、n中一定有一个是正整数，且0≤|m-n|≤1．
试验知只有m=3，n=符合要求．
∴3×27+×54=198（级）．
答：男孩第一次追上女孩时走了198级台阶．
分析：（1）如果设女孩上梯速度为x级/分，自动扶梯的速度为y级/分，扶梯露在外面的部分有S级．题中有两个等量关系，男孩走27级的时间等于扶梯走（S-27）级的时间；女孩走18级的时间等于扶梯走（S-18）级的时间，据此列出方程组，求出S的值即可；
（2）如果设男孩第一次追上女孩时走过自动扶梯m遍，走过楼梯n遍，那么女孩走过自动扶梯（m-1）遍、走过楼梯（n-1）遍．
根据两人所走的时间相等，列出方程．将（1）中求得的y与x的关系式y=2x代入，可得6n+m=16．由已知条件可知m、n中一定有一个是正整数，且0≤m-n≤1．通过试验可以求出m，n的具体值，进而求出结果．
点评：本题考查分式方程在行程问题中的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．难点在于自动扶梯在上升，具有一定的速度，同时男孩、女孩也在上楼梯，变化量较多．解题时要善于抓住不变量，只有不变量才是列方程的依据．另外，本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题．