Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥DC；
（2）若AD=2，tan∠DAC=，求⊙O直径AB的长．

Answer 1

证明：（1）连接OC．
则OC=OA，∴∠1=∠2．
∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴AD∥OC．
∴∠D=∠OCE．
又直线DE与⊙O相切于点C，
∴OC⊥DC于C．
∴∠OCE=90°．
∴∠D=90°．
∴AD⊥DC．

解：（2）在Rt△ADC中，
∵=tan∠DAC=，
∴DC=AD=×2=1．
∴由勾股定理得AC=．连接BC
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°=∠D．又∠1=∠3，
∴△ACB∽△ADC．
∴，即．
解得AB=．
∴⊙O直径AB的长是．
分析：（1）连接OC．先证∠D=∠OCE．利用直线DE与⊙O相切于点C，求证∠D=90°即可得出AD⊥DC．
（2）在Rt△ADC中，由勾股定理得AC=．连接BC．求证△ACB∽△ADC，利用相似三角形对应边成比例，解得AB即可．
点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质、切线的性质，勾股定理等知识点的综合利用，此题的关键是作好2条辅助线：（1）连接OC．（2）连接BC，然后利用了相似三角形对应边成比例求解的．