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    （2006•凉山州）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90°，AB=4，BC=6，AD=8，点P、Q同时从A点出发，分别做匀速运动，其中点P沿AB、BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位，当这两点中有一个点到达自己的终点时，另一个点也停止运动，设这两个点从出发运动了t秒．
    （1）动点P与Q哪一点先到达自己的终点？此时t为何值；
    （2）当O＜t＜2时，写出△PQA的面积S与时间t的函数关系式；
    （3）以PQ为直径的圆能否与CD相切？若有可能，求出t的值或t的取值范围；若不可能，请说明理由．

    【答案】分析：（1）P点的运动的总路程为AB+BC=10，Q点的总路程为AD=8，可根据它们的速度求出各自到达终点时用的时间，进行比较即可；
    （2）要求三角形PQA的面积就要求出三角形的底和高，底AQ可以用时间表示出来，高可以根据AP和∠A的度数来求；如果过B引AD边的垂线，那么∠A的余弦值就是（AD-BC）÷AB，据此可求出∠A的度数，也就能求出三角形APQ的高；然后根据三角形的面积公式即可得出关于S，t的函数关系式；
    （3）当P在AB上时，即0＜t＜2，显然不可能和CD相切．
    当P在BC上时，即2≤t≤5时，如果圆与CD相切，设切点为K，连接圆心和K，这条线段就是直角梯形DPOD的中位线，由此可用CP，DO表示出OK，也就可以用含t的式子表示出圆的直径；如果过P引AD的垂线，那么CP，DQ的差，CD，PQ这三者恰好可以根据勾股定理来得出关于t的方程，解方程后即可求出t的值．
    解答：解：（1）∵当P到c点时，t=5（秒），
    当Q到D点时，t=8（秒），
    ∴点P先到达终点，此时t为5秒；

    （2）如图，作BE⊥AD于点E，PF⊥AD于点F．
    AE=2，在Rt△ABE中∠A=60°，PF=t，
    ∴s=t2（0＜t＜2）；

    （3）当0＜t＜2时，以PO为直径的圆与CD不可能相切．
    当2≤t≤5时，设以PQ为直径的⊙O与CD相切于点K，
    则有PC=10-2t，DQ=8-t，OK⊥DC．
    ∵OK是梯形PCDQ的中位线，
    ∴PQ=20K=PC+DO=18-3t．
    在直角梯形PCDQ中，PO2=CD2+（DO-CP）2，
    解得：t=．
    ∵＞5，不合题意舍去．
    2＜＜5，
    因此，当t=时，以PQ为直径的圆与CD相切．
    点评：本题主要考查了直角梯形的性质，解直角三角形的应用以及中位线的应用等知识点．
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    =
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    （1）P点的坐标为多少；（用含x的代数式表示）
    （2）试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值；
    （3）请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果．

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